解题思路类似

题目大意：求[1,n]内的欧拉函数$\varphi$之和。（$n<=2*10^{9}$）

思路：令$ M(n)=\sum_{i=1}^{n}\varphi (i)  $，题目所求即为$ M(n) $。

由于$ \sum_{d|n} \varphi (d)=n $ ，所以$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i} \varphi (d)=\frac{n(n+1)}{2} $

令$ i=kd $，则有$ \sum_{i=1}^{n} \sum_{d|i} \varphi (d)= \sum_{k=1}^{n} \sum_{d=1}^{\left \lfloor n/k \right \rfloor} \varphi (d) = \sum_{k=1}^{n} M(\left \lfloor n/k \right \rfloor) =\frac{n(n+1)}{2} $

那么$ M(n)=\frac{n(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^{n} M(\left \lfloor n/i \right \rfloor) $

由于$ \left \lfloor n/i \right \rfloor $的取值只有$ O(\sqrt{n}) $种，预处理出前$ n^{\frac{2}{3}} $的$ M(n) $，然后记忆化搜索，可以证明总时间复杂度为$ O(n^{\frac{2}{3}}) $。

#include
     
      #define ll long long#define MN 1600000#define MOD 2333333struct edge{edge*nx;ll f;int x;}*h[MOD];ll f[MN+5];int p[MN+5],pn;bool u[MN+5];ll cal(int n){    if(n<=MN)return f[n];    for(edge*i=h[n%MOD];i;i=i->nx)if(i->x==n)return i->f;    edge*np=new edge;*np=(edge){h[n%MOD],1LL*n*(n+1)>>1,n};h[n%MOD]=np;    for(int i=2,ls;i<=n;i=ls+1)ls=n/(n/i),np->f-=(ls-i+1)*cal(n/i);    return np->f;}int main(){    int n,i,j;    scanf("%d",&n);    for(f[1]=1,i=2;i<=MN;++i)    {        if(!u[i])p[++pn]=i,f[i]=i-1;        for(j=1;i*p[j]<=MN&&(u[i*p[j]]=1);++j)            if(i%p[j])f[i*p[j]]=f[i]*(p[j]-1);            else{f[i*p[j]]=f[i]*p[j];break;}        f[i]+=f[i-1];    }    printf("%lld",cal(n));}